Brunn–Minkowskis sats

Inom matematiken är Brunn–Minkowski sats (eller Brunn–Minkowskis olikhet) en olikhet mellan volymerna (eller mer allmänt Lebesguemåtten) av kompakta delrum av ett Euklidiskt rum. Den ursprungliga formen av satsen (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) gällde konvexa mängder; generaliseringen till kompakta icke-konvexa mängder bevisades av L. A. Lyusternik (1935).

Satsen

Låt n ≥ 1 och låt μ beteckna Lebesguemåttet över Rⁿ. Låt A och B vara tv icke-tomma kompakta delmängder av Rⁿ. Då gäller följande olikhet:

[\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n}

där A + B betcknar Minkowskisumman

A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Brunn–Minkowski theorem, 17 mars 2014.

Brunn, H. (1887). Über Ovale und Eiflächen (doktorsavhandling). München
Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. "3". Berlin: 1. Verlag von Julius Springer
Fenchel, Werner; Bonnesen, Tommy (1987). Theory of convex bodies. Moscow, Idaho: L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates
Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2
Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
Lyusternik, Lazar A. (1935). ”Die Brunn–Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen”. Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'URSS (Nouvelle Série) III: sid. 55–58.
Minkowski, Hermann (1896). Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner
Ruzsa, Imre Z. (1997). ”The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets”. Geometriae Dedicata 67 (3): sid. 337–348. doi:10.1023/A:1004958110076.
Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.